Искать в полном словаре

ОКОЛЫШ

ОКОЛЫШ
ТолкБТС
-а; м.см. тж. околышек Часть мужского головного убора (обычно форменного) в виде ободка, к которому прикрепляется тулья.Око́лыш полицейской фуражки.Картуз с красным околышем.
ОКОЛЫШ
ТолкМАС
-а, м. Ободок у некоторых мужских головных уборов, к которому прикрепляется тулья. Она сохранилась у него еще со времен гражданской войны, эта нарядная фуражка с малиновым верхом, желтым околышем и маленьким вогнутым лакированным козырьком. В. Беляев, Старая крепость.
ОКОЛЫШ
ЭтимУспенский
А вот тут связь с «около» не подлежит сомнению. Старинная форма слова была «окол» — опушка вокруг головного убора.